Площадь

Поделись знанием:


Ты - не раб!
Закрытый образовательный курс для детей элиты: "Истинное обустройство мира".
http://noslave.org

Перейти к: навигация, поиск
Площадь
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \ S
Размерность

Единицы измерения
СИ

м²

СГС

см²

СГСЭ

Ошибка Lua в Модуль:Wikidata на строке 170: attempt to index field 'wikibase' (a nil value).

СГСМ

Ошибка Lua в Модуль:Wikidata на строке 170: attempt to index field 'wikibase' (a nil value).

Другие единицы

Ошибка Lua в Модуль:Wikidata на строке 170: attempt to index field 'wikibase' (a nil value).

Примечания

скаляр

Пло́щадь — численная характеристика двумерной (плоской или искривлённой) геометрической фигуры[1], неформально говоря, показывающая размер этой фигуры. Исторически вычисление площади называлось квадратурой. Фигура, имеющая площадь, называется квадрируемой. Конкретное значение площади для простых фигур однозначно вытекает из предъявляемых к этому понятию практически важных требований (см. ниже). Фигуры с одинаковой площадью называются равновеликими.

Общий метод вычисления площади геометрических фигур предоставило интегральное исчисление. Обобщением понятия площади стала теория меры множества, пригодная для более широкого класса геометрических объектов.

Для приближенного вычисления площади на практике используют палетку или специальный измерительный прибор — планиметр.







Определение понятия площади

Файл:Jordan illustration.png
Множество измеримо по Жордану, если внутренняя мера Жордана равна внешней мере Жордана

Площадь — функция, которая обладает следующими свойствами[2][1]:

  • Положительность, то есть площадь неотрицательна;
  • Аддитивность, то есть площадь фигуры равна сумме площадей составляющих её фигур без общих внутренних точек;
  • Инвариантность, то есть площади конгруэнтных фигур равны;
  • Нормированность, то есть площадь единичного квадрата равна 1.

Из данного определения площади следует её монотонность, то есть площадь части фигуры меньше площади всей фигуры[2].

Первоначально определение площади было сформулировано для многоугольников, затем оно было расширено на квадрируемые фигуры. Квадрируемой называется такая фигура, которую можно вписать в многоугольник и в которую можно вписать многоугольник, причём площади обоих многоугольников отличаются на произвольно малую величину. Такие фигуры называются также измеримыми по Жордану[1]. Для фигур на плоскости, не состоящих из целого количества единичных квадратов, площадь определяется с помощью предельного перехода; при этом требуется, чтобы как фигура, так и её граница были кусочно-гладкими[3]. Существуют неквадрируемые плоские фигуры[1]. Предложенное выше аксиоматическое определение площади в случае плоских фигур обычно дополняют конструктивным, при котором с помощью палетки осуществляется собственно вычисление площади. При этом для более точных вычислений на последующих шагах используют палетки, у которых длина стороны квадрата в десять раз меньше длины у предыдущей палетки[4].

Площадь квадрируемой плоской фигуры существует и единственна. Понятие площади, распространённое на более общие множества, привело к определению множеств, измеримых по Лебегу, которыми занимается теория меры. В дальнейшем возникают более общие классы, для которых свойства площади не гарантируют её единственность[1].

Под площадью в обобщённом смысле понимают численную характеристику k-мерной поверхности в n-мерном пространстве (евклидовом или римановом), в частности, характеристику двумерной поверхности в трёхмерном пространстве[1].

Общий метод определения площади

Площадь плоской фигуры

На практике чаще всего требуется определить площадь ограниченной фигуры с кусочно-гладкой границей. Математический анализ предлагает универсальный метод решения подобных задач.

Декартовы координаты

Файл:Integral as region under curve.svg
Определённый интеграл как площадь фигуры
Файл:Areabetweentwographs.svg
Площадь между графиками двух функций равна разности интегралов от этих функций в одинаковых пределах интегрирования

Площадь, заключённая между графиком непрерывной функции на интервале Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): [a, b] и горизонтальной осью, может быть вычислена как определённый интеграл от этой функции:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): S = \int\limits_a^b f(x)\, dx

Площадь, заключённая между графиками двух непрерывных функций Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): f(x),\, g(x) на интервале Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): [a, b] находится как разность определённых интегралов от этих функций:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): S = \int\limits_a^b \left | f(x)-g(x) \right |\, dx

Полярные координаты

В полярных координатах: площадь, ограниченная графиком функции Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): r=r(\theta ) и лучами Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \theta = \theta_1, \theta = \theta_2, \theta_1<\theta_2 вычисляется по формуле:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): S = {1 \over 2} \int\limits_{\theta_1}^{\theta_2} r^2(\theta) \, d\theta .

Площадь поверхности

Для определения площади кусочно гладкой поверхности в трёхмерном пространстве используют ортогональные проекции к касательным плоскостям в каждой точке, после чего выполняют предельный переход. В результате, площадь искривлённой поверхности A, заданной вектор-функцией Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v), , даётся двойным интегралом[1]:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): S = \iint\limits_A \left|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}\right|\,du\,dv.

То же в координатах:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): S = \iint\limits_A \sqrt{\left(\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\right)^2}\;\mathrm{d}\,u\,\mathrm{d}\,v

Здесь Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \frac{D(y,z)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix}y'_u & y'_v \\ z'_u & z'_v \end{vmatrix},\quad\frac{D(z,x)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix} z'_u & z'_v\\ x'_u & x'_v \end{vmatrix},\quad\frac{D(x,y)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix}x'_u & x'_v \\ y'_u & y'_v \end{vmatrix} .

Теория площадей

Теория площадей занимается изучением обобщений, связанных с распространением определения k-мерной площади с кусочно-гладкого погружения на более общие пространства. Для кусочно-гладкого погружения f площадь определяют способом, аналогичным указанному выше, при этом у площади сохраняются такие свойства как положительность, аддитивность, нормированность, а также ряд новых.

Единицы измерения площади

Файл:Area conversion - square mm in a square cm.png
В одном квадратном сантиметре сто квадратных миллиметров

Метрические единицы

Русские устаревшие

Мерами земли при налоговых расчётах были выть, соха, обжа, размеры которых зависели от качества земли и социального положения владельца. Существовали и различные местные меры земли: коробья, верёвка, жеребья и др.

Античные

Другие

  • Рай = 1600 м² (40 м × 40 м).
  • Квадратный парсек
  • Планковская площадь (Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): S_P, {\ell}_{P}^{2} ) ≈ 2,612099 · 10−70 м2

Формулы вычисления площадей простейших фигур

Многоугольники

Фигура Формула Переменные
Правильный треугольник Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): a^2\frac{\sqrt{3}}{4} Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): a  — длина стороны треугольника
Прямоугольный треугольник Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \frac{ab}{2} Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): a и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): b  — катеты треугольника
Произвольный треугольник Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \frac{1}{2}ah Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): a  — сторона треугольника, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): h  — высота, проведённая к этой стороне
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \frac{1}{2}ab\sin\alpha Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): a и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): b  — любые две стороны, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \alpha  — угол между ними
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
(формула Герона)
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): a , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): b и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): c  — стороны треугольника, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): p  — полупериметр Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \left(p=\frac{a+b+c}{2}\right)
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_0&y_0&1\\x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\end{vmatrix} Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): (x_0;y_0) , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): (x_1;y_1) , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): (x_2;y_2)  — координаты вершин треугольника (в случае обхода вершин по часовой стрелке получим положительный результат, иначе отрицательный)
Квадрат Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): a^2 Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): a  — длина стороны квадрата
Прямоугольник Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): ab Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): a и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): b  — длины сторон прямоугольника (его длина и ширина)
Ромб Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \frac{1}{2}cd Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): c и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): d  — длины диагоналей ромба
Параллелограмм Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): ah Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): a и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): h  — длины стороны и опущенной на неё высоты соответственно
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): ab\sin\alpha Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): a и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): b  — соседние стороны параллелограмма, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \alpha  — угол между ними
Трапеция Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \frac{1}{2}(a+b)h Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): a и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): b  — основания трапеции, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): h  — высота трапеции
Произвольный четырёхугольник Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos\alpha}
(формула Брахмагупты)
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): a , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): b , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): c , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): d  — стороны четырёхугольника, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): p  — его полупериметр, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \alpha  — полусумма противолежащих углов четырёхугольника
Правильный шестиугольник Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): a^2\frac{3\sqrt{3}}{2} Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): a  — длина стороны шестиугольника
Правильный восьмиугольник Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): 2a^2(1+\sqrt{2}) Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): a  — длина стороны восьмиугольника
Правильный многоугольник Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \frac{P^2/n}{4\operatorname{tg}(\pi/n)} Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): P  — периметр, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): n  — количество сторон
Произвольный многоугольник (выпуклый и невыпуклый) Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \frac{1}{2}\left|\sum^{n}_{i=1}(x_{i+1}-x_i)(y_{i+1}+y_i)\right|
(метод трапеций)
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): (x_i;y_i)  — координаты вершин многоугольника в порядке их обхода, замыкая последнюю с первой: Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): (x_{n+1};y_{n+1})=(x_1;y_1) ; при наличии отверстий направление их обхода противоположно обходу внешней границы многоугольника

Площади круга, его частей, описанных и вписанных в круг фигур

Фигура Формула Переменные
Круг Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \pi r^2 или Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \frac{\pi d^2}{4} Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): r  — радиус, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): d  — диаметр круга
Сектор круга Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \frac{\alpha r^2}{2} Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): r  — радиус круга, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \alpha  — центральный угол сектора (в радианах)
Сегмент круга Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \frac{r^2}{2}(\alpha-\sin\alpha) Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): r  — радиус круга, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \alpha  — центральный угол сегмента (в радианах)
Эллипс Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \pi ab Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): a , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): b  — большая и малая полуоси эллипса
Треугольник, вписанный в окружность Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \frac{abc}{4R} Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): a , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): b и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): c  — стороны треугольника, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): R  — радиус описанной окружности
Четырёхугольник, вписанный в окружность Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}
(формула Брахмагупты)
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): a , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): b , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): c , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): d  — стороны четырёхугольника, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): p  — его полупериметр
Многоугольник, описанный около окружности Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \frac{1}{2}Pr Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): r  — радиус окружности, вписанной в многоугольник, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): P  — периметр многоугольника
Прямоугольная трапеция, описанная около окружности Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): ab Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): a , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): b  — основания трапеции

Площади поверхностей тел в пространстве

Тело Формула Переменные
Полная поверхность цилиндра Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): 2\pi r(r+h) Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): r и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): h  — радиус и высота соответственно
Боковая поверхность цилиндра Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): 2\pi rh
Полная поверхность конуса Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \pi r (l + r) Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): r и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): l  — радиус и образующая боковой поверхности соответственно
Боковая поверхность конуса Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \pi rl
Поверхность сферы (шара) Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): 4\pi r^2 или Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \pi d^2 Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): r и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): d  — радиус и диаметр соответственно

Исторический очерк

Площадь плоских фигур

Многие годы площадь считалась первичным понятием, не требующим определения. Основной задачей математиков являлось вычисление площади, при этом были известны основные свойства площади[2]. В Древнем Египте использовались точные правила вычисления площади прямоугольников, прямоугольных треугольников и трапеций, площадь произвольного четырёхугольника определялась приближённо как произведение полусумм пар противоположных сторон. Применение такой приближённой формулы связано с тем, что участки, площадь которых надо было померить, были в основном близки к прямоугольным и погрешность в таком случае оставалась небольшой. Историк математики А. П. Юшкевич предполагает, что египтяне могли и не знать, что пользуются приближённой формулой. В задаче 50 папируса Ринда содержится формула вычисления площади круга, которая считалась равной площади квадрата со стороной 8/9 диаметра круга[5]. Такими же формулами пользовались и в Вавилоне, однако для площади круга приближение было менее точным. Кроме того, вавилоняне могли приближённо посчитать площади правильных пяти-, шести- и семиугольника со стороной равной единице. В шестидесятиричной системе им соответствовали 1,40, 2,37,20 и 3,41, соответственно[6].

Основным приёмом вычисления площади при этом являлось построение квадрата, площадь которого равна площади заданной многоугольной фигуры, в частности в книге I «Начал» Евклида, которая посвящена планиметрии прямолинейных фигур, доказывается, что треугольник равновелик половине прямоугольника, имеющего с ним равные основания и высоту[7]. Метод разложения, основанный на том, что две равносоставленные фигуры равновелики, позволял также вычислить площади параллелограммов и любых многоугольников[4].

Следующим шагом было вычисление площадей круга, кругового сектора, лунок и других фигур. Основу вычислений при этом составлял метод исчерпывания многоугольниками[1][4], с которого берёт начало теория пределов. Метод заключается в построении последовательности площадей, которые при постепенном нарастании «исчерпывают» требуемую площадь. Метод исчерпывания, получивший своё название только в XVII веке, основан на аксиоме непрерывности Евдокса — Архимеда и приписывается Евдоксу Книдскому, который с его помощью показал, что площади кругов относятся друг к другу как квадраты их диаметров. Метод описан в «Началах» Евклида: аксиома Евдокса сформулирована в книге V, а сам метод исчерпывания и основанные на нём отношения — в книге XII[7]. Особого совершенства в применении метода достиг Архимед, который с его помощью посчитал площадь сегмента параболы и другие[8][9]. Труд Архимеда «О спиралях» включает много утверждений, касающихся площадей различных витков спирали и их отношений[10]. Архимеду принадлежит идея использования площадей или объёмов как вписанных, так и описанных фигур для определения требуемой площади или объёма[11].

Индийцы поначалу пользовались той же формулой для вычисления четырёхугольников, что египтяне и греки. Брахмагупта пользовался формулой для площади четырёхугольников, выраженной через его полупериметр., которая верна для вписанного в окружность четырёхугольника. Формулы вычисления площади обычно не доказывались, но демонстрировались с наглядными рисунками[12]. Формула Брахмагупты представляет собой аналог формулы Герона для площади треугольника, которую тот привёл в своей «Метрике»[13].

Развитие и обобщение метода исчерпывания произошло только в XVII веке. В 1604 году в работе «Три книги о центре тяжести тел» Валерио широко использует теорему, по которой разность между площадями вписанной и описанной фигур, составленных из параллелограммов можно сделать меньше любой данной площади[14]. Настоящий прорыв был сделан Кеплером, которому для астрономических расчётов нужно было уметь вычислять площадь эллипса. Кеплер рассматривал площадь как «сумму линий» и, разлиновывая эллипс с шагом в один градус, показал[15], что Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \int\limits_0^\varphi \sin x dx = 1 - \cos \varphi . Кавальери, обосновывая подобный метод, названный «методом неделимых», сравнивал площади плоских фигур, используя сечение фигур параллельными прямыми[16]. Применение первообразной для нахождения площади плоской фигуры является наиболее универсальным методом. С помощью первообразной доказывается принцип Кавальери, по которому две плоские фигуры имеют равную площадь, если при пересечении каждой из них прямой, параллельной фиксированной, получаются отрезки одинаковой длины. Принцип был известен задолго до формирования интегрального исчисления[1][4].

Площадь поверхности

Вычислением площадей кривых поверхностей занимался Архимед, определив, в частности, площадь поверхности шара[11]. В общем случае для определения площади поверхности нельзя пользоваться ни развёрткой (не подходит для сферы), ни приближением многогранными поверхностями, то есть аналогом метода исчерпывания. Последнее показал Шварц, построив для боковой последовательности цилиндра последовательности, которые приводят к разным результатам (так называемый сапог Шварца)[1][17].

Общий приём вычисления площади поверхности на рубеже XIX—XX веков предложил Минковский, который для каждой поверхности строил «окутывающий слой» малой постоянной толщины, тогда площадь поверхности будет приближённо равна объёму этого слоя, делённому на его толщину. Предельный переход при толщине, стремящейся к нулю даёт точное значение площади. Однако, для площади по Минковскому не всегда выполняется свойство аддитивности. Обобщение данного определения приводит к понятию линии по Минковскому и другим[18].

Напишите отзыв о статье "Площадь"

Примечания

  1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Площадь // [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t4.djvu Математическая энциклопедия (в 5 томах)]. — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 4.
  2. 1 2 3 Геометрия, 1966, с. 7—13.
  3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Изд. 6-е. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1966. — Т. 2. — С. 186—224. — 800 с.
  4. 1 2 3 4 Болтянский В. [http://kvant.mccme.ru/1977/05/o_ponyatiyah_ploshchadi_i_obem.htm О понятиях площади и объёма.] Квант, № 5, 1977, c.2—9
  5. История математики, т. I, 1970, с. 30—32.
  6. История математики, т. I, 1970, с. 47—53.
  7. 1 2 История математики, т. I, 1970, с. 111—114.
  8. Исчерпывания метод // [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t2.djvu Математическая энциклопедия (в 5 томах)]. — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2.
  9. История математики, т. I, 1970, с. 101—105.
  10. Boyer & Merzbach, 2010, p. 127—128.
  11. 1 2 История математики, т. I, 1970, с. 117—124.
  12. История математики, т. I, 1970, с. 197—198.
  13. Boyer & Merzbach, 2010, p. 172, 219.
  14. История математики, т. II, 1970, с. 131—135.
  15. История математики, т. II, 1970, с. 166—171.
  16. История математики, т. II, 1970, с. 174—181.
  17. В. Н. Дубровский, [http://kvant.mccme.ru/1978/05/v_poiskah_opredeleniya_ploshch.htm В поисках определения площади поверхности]. Квант. 1978. № 5. С.31—34.
  18. В. Н. Дубровский, [http://kvant.mccme.ru/1979/04/ploshchad_poverhnosti_po_minko.htm Площадь поверхности по Минковскому]. Квант. 1979. № 4. С.33—35.

Литература

  • [http://ilib.mccme.ru/djvu/encikl/enc-el-5.htm Энциклопедия элементарной математики. Книга пятая. Геометрия] / под редакцией П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина. — М.: Наука, 1966. — 624 с.
  • Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. Изд. 3-е, М.: Наука, 1967.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — Т. 2. — 680 с. — ISBN 5-9221-0155-2.
  • История математики: в 3 т. / под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — Т. [http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat1.htm I: С древнейших времён до начала Нового времени].
  • История математики: в 3 т. / под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — Т. [http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat2.htm II: Математика XVII столетия].
  • Boyer C. B., Merzbach U. C. [http://books.google.ca/books?id=BokVHiuIk9UC&source=gbs_navlinks_s A History of Mathematics]. — John Wiley & Sons, 2010. — 640 p. (англ.)

Отрывок, характеризующий Площадь

Глазки свои открой,
Милый ты мой мальчонка,
Славный сыночек мой.
Встань, погляди, послушай
Как нам птицы поют,
Как цветы на рассвете
Росы майские пьют.
Встань, погляди мой милый,
Смерть тебя подождёт!
Видишь? – И на могилах
Солнечный май живёт!
Пламенеет цветами
Даже земля могил...
Так почему ж так мало
Ты, мой сыночек, жил?
Мальчик мой ясноглазый,
Радость, надежда моя!
Не уходи, мой милый,
Не покидай меня...
Он нарёк его Александром, выбрав это имя сам, так как мама была в больнице и ему некого больше было спросить. А когда бабушка предложила помочь похоронить малыша, папа категорически отказался. Он сделал всё сам, от начала до конца, хотя я не могу даже представить, сколько горя надо было перенести, хороня своего новорождённого сына, и в то же время зная, что в больнице умирает его горячо любимая жена... Но папа это всё перенёс без единого слова упрёка кому-либо, только единственное, о чём он молился, это чтобы вернулась к нему его любимая Аннушка, пока этот страшный удар не подкосил её окончательно, и пока на её измученный мозг не опустилась ночь...
И вот мама вернулась, а он был совершенно бессилен чем-то ей помочь, и совершенно не знал, как же её вывести из этого жуткого, «мёртвого» состояния...
Смерть маленького Александра глубоко потрясла всю семью Серёгиных. Казалось, никогда не вернётся в этот грустный дом солнечный свет, и никогда не будет звучать больше смех... Мама всё ещё была «убитой». И хотя её молодое тело, подчиняясь законам природы, начинало всё больше и больше крепнуть, её раненая душа, несмотря на все старания папы, как улетевшая птица, всё ещё была далеко и, глубоко окунувшись в океан боли, не спешила оттуда вернуться...

Но вскоре, через каких-то шесть месяцев, к ним пришла добрая новость – мама снова была беременна... Папа вначале перепугался, но видя, что мама вдруг очень быстро начала оживать, решился идти на риск, и теперь уже все с большим нетерпением ждали второго ребёнка... На этот раз они были очень осторожны, и пытались всячески уберечь маму от любых нежелательных случайностей. Но, к сожалению, беде, видимо по какой-то причине, полюбилась эта гостеприимная дверь... И она постучалась опять...
С перепугу, зная печальную историю первой маминой беременности, и боясь, как бы опять что-то не пошло «не так», врачи решили делать «кесарево сечение» ещё до того, как начнутся схватки (!). И видимо сделали это слишком рано... Так или иначе, родилась девочка, которую назвали Марианной. Но прожить ей, к сожалению, удалось тоже очень недолго – через три дня эта хрупкая, чуть распустившаяся жизнь, по никому не известным причинам, прервалась...
Создавалось жуткое впечатление, что кому-то очень не хочется, чтобы мама родила вообще... И хотя по своей природе и по генетике она была сильной и абсолютно пригодной для деторождения женщиной, она уже боялась даже подумать о повторении такой жестокой попытки когда-то вообще...
Но человек – существо, на удивление, сильное, и способно вынести намного больше, чем он сам когда-либо мог бы себе представить... Ну, а боль, даже самая страшная, (если она сразу не разрывает сердце) когда-то видимо притупляется, вытесняемая, вечно живущей в каждом из нас, надеждой. Вот поэтому, ровно через год, очень легко и без каких-либо осложнений, ранним декабрьским утром у семьи Серёгиных родилась ещё одна дочь, и этой счастливой дочерью оказалась я... Но... и это появление на свет наверняка кончилось бы не так счастливо, если бы всё и дальше происходило по заранее подготовленному плану наших «сердобольных» врачей... Холодным декабрьским утром маму отвезли в больницу, ещё до того, как у неё начались схватки, чтобы, опять же, «быть уверенными», что «ничего плохого» не произойдёт (!!!)... Дико нервничавший от «плохих предчувствий» папа, метался туда-сюда по длинному больничному коридору, не в состоянии успокоиться, так как знал, что, по их общему договору, мама делала такую попытку в последний раз и, если с ребёнком что-то случится и на этот раз – значит, им никогда не суждено будет увидеть своих детей... Решение было тяжёлое, но папа предпочитал видеть, если не детей, то хотя бы свою любимую «звёздочку» живой, а не похоронить сразу всю свою семью, даже по-настоящему ещё не поняв, что же такое по-настоящему означает – его семья...
К папиному большому сожалению, маму опять же пришёл проверять доктор Ингелявичус, который всё ещё оставался там главным хирургом, и избежать его «высокого» внимания было очень и очень сложно... «Внимательно» осмотрев маму, Ингелявичус заявил, что придёт завтра в 6 часов утра, делать маме очередное «кесарево сечение», на что у бедного папы чуть не случился сердечный удар...
Но около пяти часов утра к маме явилась очень приятная молодая акушерка и, к большому маминому удивлению, весело сказала:
– А ну, давайте-ка готовиться, сейчас будем рожать!
Когда перепуганная мама спросила – а как же доктор? Женщина, спокойно посмотрев ей в глаза, ласково ответила, что по её мнению, маме уже давно пора рожать живых (!) детей... И начала мягко и осторожно массировать маме живот, как бы понемножку готовя её к «скорому и счастливому» деторождению... И вот, с лёгкой руки этой чудесной незнакомой акушерки, около шести часов утра, у мамы легко и быстро родился её первый живой ребёнок, которым, на своё счастье, и оказалась я.
– А ну, посмотри-ка на эту куколку, мама! – весело воскликнула акушерка, принося маме уже умытый и чистенький, маленький кричащий сверток. А мама, увидев впервые свою, живую и здоровую, маленькую дочь... от радости потеряла сознание...

Когда ровно в шесть часов утра доктор Ингелявичус вошёл в палату, перед его глазами предстала чудесная картинка – на кровати лежала очень счастливая пара – это была моя мама и я, её живая новорожденная дочурка... Но вместо того, чтобы порадоваться за такой неожиданный счастливый конец, доктор почему-то пришёл в настоящее бешенство и, не сказав ни слова, выскочил из палаты...
Мы так никогда и не узнали, что по-настоящему происходило со всеми «трагично-необычными» родами моей бедной, настрадавшейся мамы. Но одно было ясно наверняка – кому-то очень не хотелось, чтобы хоть один мамин ребёнок появился живым на этот свет. Но видимо тот, кто так бережно и надёжно оберегал меня всю мою дальнейшую жизнь, на этот раз решил не допустить гибели ребёнка Серёгиных, каким-то образом зная, что в этой семье он наверняка окажется последним...
Вот так, «с препятствиями», началась когда-то моя удивительная и необычная жизнь, появление которой, ещё до моего рождения, готовила мне, уже тогда достаточно сложная и непредсказуемая, судьба....
А может, это был кто-то, кто тогда уже знал, что моя жизнь кому-то и для чего-то будет нужна, и кто-то очень постарался, чтобы я всё-таки родилась на этой земле, вопреки всем создаваемым «тяжёлым препятствиям»...

Время шло. На дворе уже полностью властвовала моя десятая зима, покрывшая всё вокруг белоснежным пушистым покровом, как бы желая показать, что полноправной хозяйкой на данный момент является здесь она.
Всё больше и больше людей заходило в магазины, чтобы заранее запастись Новогодними подарками, и даже в воздухе уже «пахло» праздником.
Приближались два моих самых любимых дня – день моего рождения и Новый Год, между которыми была всего лишь двухнедельная разница, что позволяло мне полностью насладиться их «празднованием», без какого-либо большого перерыва...
Я целыми днями крутилась «в разведке» возле бабушки, пытаясь разузнать, что же получу на свой «особый» день в этом году?.. Но бабушка почему-то не поддавалась, хотя раньше мне никогда не составляло большого труда «растопить» её молчание ещё до своего дня рождения и узнать какой такой «приятности» я могу ожидать. Но в этом году, почему-то, на все мои «безнадёжные» попытки, бабушка только загадочно улыбалась и отвечала, что это «сюрприз», и что она совершенно уверена, что он мне очень понравится. Так что, как бы я ни старалась, она держалась стойко и ни на какие провокации не поддавалась. Деваться было некуда – приходилось ждать...
Поэтому, чтобы хоть чем-то себя занять и не думать о подарках, я начала составлять «праздничное меню», которое бабушка в этом году разрешила мне выбирать по своему усмотрению. Но, надо честно сказать, это не была самая лёгкая задача, так как бабушка могла делать настоящие кулинарные чудеса и выбрать из такого «изобилия» было не так-то просто, а уж, тем более – поймать бабушку на чём-то невыполнимом, было вообще делом почти что безнадёжным. Даже самым привередливым гурманам, думаю, нашлось бы, чем у неё полакомиться!.. А мне очень хотелось, чтобы на этот раз у нас «пахло» чем-то совершенно особенным, так как это был мой первый «серьёзный» день рождения и мне впервые разрешалось приглашать так много гостей. Бабушка очень серьёзно ко всему этому отнеслась, и мы сидели с ней около часа, обсуждая, что бы такое особенное она могла бы для меня «наворожить». Сейчас, конечно же, я понимаю, что она просто хотела сделать мне приятное и показать, что то, что важно для меня – точно так же важно и для неё. Это всегда было очень приятно и помогало мне чувствовать себя нужной и в какой-то степени даже «значительной», как если бы я была взрослым, зрелым человеком, который для неё достаточно много значил. Думаю, это очень важно для каждого из нас (детей), чтобы кто-то в нас по-настоящему верил, так как все мы нуждаемся в поддержании нашей уверенности в себе в это хрупкое и сильно «колеблющееся» время детского созревания, которое и так почти всегда являет собой бурный комплекс неполноценности и крайнего риска во всём, что мы пытаемся пробовать, пытаясь доказать свою человеческую ценность. Бабушка это прекрасно понимала, и её дружеское отношение всегда помогало мне без боязни продолжать мои «сумасшедшие» поиски себя в любых попадавшихся жизненных обстоятельствах.
Наконец-то закончив составлять вместе с бабушкой свой «деньрожденческий стол», я отправилась на поиски папы, у которого был выходной день и который (я почти была в этом уверена) находился где-то в «своём углу», за своим любимым занятием...
Как я и думала, уютно устроившись на диване, папа спокойно читал какую-то очень старую книгу, одну из тех, которых брать мне пока ещё не разрешалось, и до которых, как я понимала, я пока что ещё не доросла. Серый кот Гришка, свернувшись тёплым калачиком у папы на коленях, от избытка переполнявших его чувств довольно жмурился, вдохновенно мурлыча за целый «кошачий оркестр»... Я подсела к папе на краешек дивана, как делала очень часто, и тихонечко стала наблюдать за выражением его лица... Он был где-то далеко, в мире своих дум и грёз, следуя за ниточкой, которую, видимо очень увлечённо плёл автор, и в то же время, наверняка уже расставлял получаемую информацию по полочкам своего «логического мышления», чтобы потом пропустить через своё понимание и восприятие, и уже готовенькую отправить в свой огромный «мысленный архив»...
– Ну и что же мы там имеем? – потрепав меня по голове, тихо спросил папа.
– А наша учительница сегодня сказала, что никакой души вовсе нет, а все разговоры о ней – это просто выдумки священников, чтобы «подорвать счастливую психику советского человека»... Почему они лгут нам, пап? – на одном дыхании выпалила я.
– Потому, что весь этот мир, в котором мы здесь живём, построен именно на лжи... – очень спокойно ответил отец. – Даже слово – ДУША – понемногу уходит из оборота. Вернее – его «уходят»... Смотри вот, раньше говорили: душещипательный, душа в душу, душегрейка, душераздирающий, душевный, открыть душу, и т.д. А теперь это заменяется – болезненный, дружно, телогрейка, отзывчивый, потребность... Скоро в русском языке совсем души не останется... Да и сам язык стал другой – скупой, безликий, мёртвый... Знаю, ты не заметила, Светленькая, – ласково улыбнулся папа. – Но это только потому, что ты уже родилась с ним таким, каким он является сегодня... А раньше он был необычайно ярким, красивым, богатым!.. По-настоящему душевным... Теперь уже и писать иногда не хочется, – папа на несколько секунд умолк, думая о чём-то своём и тут же возмущённо добавил. – Как я могу выразить своё «я», если мне присылают список (!), какие слова можно употреблять, а какие являются «пережитком буржуазного строя»... Дикость...
– Тогда, что – лучше учиться самому, чем ходить в школу? – озадачено спросила я.
– Нет, мой маленький человек, в школу идти нужно. – И не дав мне возможности возразить, продолжил. – В школе тебе дают «зёрна» твоего фундамента – математику, физику, химию биологию, и т.д., которым дома тебя учить у меня просто не нашлось бы времени. А без этих «зёрен», к сожалению, ты не сможешь вырастить свой «умственный урожай»... – папа улыбнулся. – Только сперва ты обязательно должна будешь эти «зёрнышки» хорошенько «просеять» от шелухи и гнилых семян... А какой уж потом получится твой «урожай» – будет зависеть только от тебя самой... Жизнь сложная штука, видишь ли... И не так-то просто иногда бывает держаться на поверхности... не уходя на дно. Но деваться-то некуда, правда же? – папа опять потрепал меня по голове, он был почему-то грустным... – Вот и думай – быть ли одной из тех, кому говорят, как тебе надо жить или быть одной из тех, которые сами думают и ищут свой путь... Правда, за это бьют по головушке весьма основательно, но зато, ты всегда будешь носить её гордо поднятой. Вот и думай хорошенько, перед тем как решишь, что тебе больше нравится...
– А почему, когда я говорю в школе то, что думаю, учительница называет меня выскочкой? Это так обидно!.. Я никогда не стараюсь первой отвечать, наоборот – предпочитаю, когда меня не трогают... Но если спрашивают, я же должна ответить, правда, ведь? А им почему-то очень часто мои ответы не нравятся... Как же быть, пап?
– Ну, это, опять же, тот же самый вопрос – хочешь ли быть сама собой или хочешь говорить то, что от тебя требуется и жить спокойно? Ты, опять же, должна выбирать... А не нравятся твои ответы потому, что они не всегда совпадают с теми, которые у них уже подготовлены, и которые всегда для всех одинаковы.
– Как это – одинаковые? Я ведь не могу думать, как они хотят?.. Люди не могут думать одинаково?!
– Ошибаешься, моя Светлая... Именно это-то они и хотят – чтобы все мы думали и действовали одинаково... В этом-то вся мораль...
– Но это неправильно, пап!.. – возмутилась я.
– А ты посмотри повнимательнее на своих школьных друзей – часто ли они говорят не то, что написано? – я смутилась... он был опять же, как всегда, прав. – Это потому, что их родители учат их быть всего лишь примерными и послушными учениками и получать хорошие отметки. Но они не учат их думать... Возможно, потому, что не очень-то думали сами... Или может ещё потому, что в них уже слишком глубоко вжился страх... Вот и шевели своими извилинками, моя Светленькая, чтобы найти для себя то, что является для тебя более важным – твои отметки, или твоё собственное мышление.
– А разве можно бояться думать, пап?.. Ведь наших мыслей никто не слышит?.. Чего же тогда бояться?
– Слышать-то не услышат... Но каждая созревшая мысль формирует твоё сознание, Светленькая. А когда твои мысли меняются, то меняешься с ними и ты... И если мысли у тебя правильные, то они могут очень и очень кому-то не понравиться. Далеко не всем людям нравится думать, видишь ли. Очень многие предпочитают сваливать это на плечи другим, таким как ты, а сами остаются лишь «исполнителями» чужих желаний на всю свою оставшуюся жизнь. И счастье для них, если те же «думающие» не бьются в борьбе за власть, потому что тогда в игру идут уже не настоящие человеческие ценности, а ложь, бахвальство, насилие, и даже преступление, если они хотят избавиться от думающих с ними «невпопад»... Поэтому, думать может быть очень опасно, моя Светлая. И всё зависит лишь от того, будешь ли ты этого бояться или предпочтёшь страху свою человеческую честь...
Я взобралась к папе на диван и свернулась рядом с ним калачиком, подражая (очень этим недовольному) Гришке. Рядом с папой я всегда чувствовала себя очень защищённо и умиротворённо. Казалось, ничто плохое не может до нас добраться, как и ничто плохое не может со мной случиться, когда я нахожусь рядом с ним. Чего, конечно же, нельзя было сказать про взъерошенного Гришку, так как он тоже обожал проводимые с папой часы и не выносил, когда кто-либо в эти часы вторгался... Он шипел на меня очень недружелюбно и всем своим видом показывал, что лучше бы мне было поскорее отсюда убраться... Я рассмеялась и решила оставить его спокойно наслаждаться таким дорогим для него удовольствием, а сама пошла чуточку поразмяться – поиграть на дворе с соседскими ребятами в снежки.
Я считала дни и часы, оставшиеся до моего десятого дня рождения, чувствуя себя уже почти что «совсем взрослой», но, к своему большому стыду, была не в состоянии ни на минуту забыть мой «деньрожденческий сюрприз», что, конечно же, ничего положительного к той же самой моей «взрослости» не прибавляло...
Я так же, как и все дети на свете, обожала подарки... И теперь целыми днями гадала, что же это такое могло быть, что, по мнению бабушки, с такой уверенностью должно было мне «очень понравиться»?..
Но ждать оставалось не так уж долго, и очень скоро полностью подтвердилось то, что делать это очень даже стоило…
Наконец-то наступившее, моё «деньрожденческое» утро было холодным, искристым и солнечным, как и подобало в настоящий праздничный день. Воздух «лопался» от холода цветными звёздочками и буквально «звенел», заставляя пешеходов двигаться быстрее обычного... У всех нас, выходя на двор, захватывало дух, и от «всего живого» вокруг буквально валил пар, смешно делая всех похожими на разноцветные паровозы, спешащие в разных направлениях...
После завтрака я уже просто не могла усидеть на месте и ходила «хвостом» за мамой, ожидая, когда же уже наконец-то увижу свой долгожданный «сюрприз». К моему величайшему удивлению, мама пошла со мной к соседскому дому и постучалась в дверь... Несмотря на то, что наша соседка была очень приятным человеком, какое отношение она могла иметь к моему дню рождения – для меня оставалось загадкой...
– А, наша «праздничная» девочка пришла! – открыв дверь, весело произнесла соседка. – Ну, пойдёмте, Пурга вас ждёт.
И тут у меня буквально подкосились ноги... Пурга (или вернее – по-литовски, Пуга) была изумительно красивой соседской лошадкой, на которой мне очень часто разрешалось кататься верхом. И я её просто обожала!.. В этой чудесной лошади было красиво всё – и внешний вид, и её чуткая «лошадиная» душа, и спокойный, надёжный характер. По моему понятию, она вообще была самой красивой и самой чудесной на свете лошадью!.. Она была серебристо-серого цвета (что ещё называлось – седой), со снежно-белым длинным хвостом, вся «усыпана» светло-серыми и белыми яблоками. Когда я приходила, она всегда здоровалась, тыкаясь своим удивительно мягким носом мне в плечо, как бы говоря:
– Ну, вот я какая хорошая, возьми меня кататься!!!
У неё была очень красивая морда, очень изящная, с огромными, мягкими, добрыми глазами, которые, казалось, понимали всё. И было бы просто «преступлением» её не любить...
Несмотря на то, что наш двор был очень большим, и в нём всегда было полно всякой домашней «живности», коня мы не могли держать по той простой причине, что его не так-то просто было купить. Арабский жеребец стоил для нас (по тогдашним меркам) очень дорого, потому что мой папа в то время работал в газете намного меньше часов, чем обычно (так как, по общему согласию семьи, был занят писанием пьес для русского драматического театра), и поэтому, большими финансами мы в тот момент не располагали. И хотя это было уже подходящее время для меня по-настоящему учиться конской езде, единственная возможность это делать была проситься иногда выезжать на прогулку с Пургой, которая почему-то меня тоже очень любила и всегда с удовольствием выезжала со мной кататься.