Термодинамические потенциалы

Поделись знанием:


Ты - не раб!
Закрытый образовательный курс для детей элиты: "Истинное обустройство мира".
http://noslave.org

Перейти к: навигация, поиск
 Просмотр этого шаблона  Термодинамические потенциалы
Термодинамика
Разделы
См. также «Физический портал»

Термодинами́ческие потенциа́лы — внутренняя энергия Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): U , рассматриваемая как функция энтропии Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): S и обобщённых координат Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): x_1,x_2,... [1] (объёма системы, площади поверхности раздела фаз, длины упругого стержня или пружины, поляризации диэлектрика, намагниченности магнетика, масс компонентов системы и др.[2]), и термодинамические характеристические функции, получаемые посредством применения преобразования Лежандра[3][4] к внутренней энергии

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): U=U(S,x_1,x_2,...) .

Цель введения термодинамических потенциалов — использование такого набора естественных независимых переменных, описывающих состояние термодинамической системы, который наиболее удобен в конкретной ситуации, с сохранением тех преимуществ, которые даёт применение характеристических функций с размерностью энергии. В частности, убыль термодинамических потенциалов в равновесных процессах, протекающих при постоянстве значений соответствующих естественных переменных, равна полезной внешней работе.

Термодинамические потенциалы были введены У. Гиббсом, говорившим о «фундаментальных уравнениях (fundamental equations)»[5][6]; термин термодинамический потенциал принадлежит Пьеру Дюгему[7].

Выделяют следующие термодинамические потенциалы:







Определения (для систем с постоянным числом частиц)

Внутренняя энергия

Определяется в соответствии с первым началом термодинамики, как разность между количеством теплоты, сообщённым системе, и работой, совершённой системой над внешними телами:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): U=Q - A .

Энтальпия

Определяется следующим образом:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): H=U + PV ,

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): P  — давление, а Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): V  — объём.

Поскольку в изобарном процессе работа равна Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): P \Delta V , приращение энтальпии в квазистатическом изобарном процессе равно количеству теплоты, полученному системой.

Свободная энергия Гельмгольца

Также часто называемый просто свободной энергией. Определяется следующим образом:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): F = U - TS ,

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): T  — температура и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): S  — энтропия.

Поскольку в изотермическом процессе количество теплоты, полученное системой, равно Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): T \Delta S , то убыль свободной энергии в квазистатическом изотермическом процессе равна работе, совершённой системой над внешними телами.

Потенциал Гиббса

Также называемый энергией Гиббса, термодинамическим потенциалом, свободной энергией Гиббса и даже просто свободной энергией (что может привести к смешиванию потенциала Гиббса со свободной энергией Гельмгольца):

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): G = H - TS = F + PV = U+PV-TS .

Термодинамические потенциалы и максимальная работа

Внутренняя энергия представляет собой полную энергию системы. Однако второе начало термодинамики запрещает превратить всю внутреннюю энергию в работу.

Можно показать, что максимальная полная работа (как над средой, так и над внешними телами), которая может быть получена от системы в изотермическом процессе, равна убыли свободной энергии Гельмгольца в этом процессе:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): A^f_{max}=-\Delta F ,

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): F  — свободная энергия Гельмгольца.

В этом смысле Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): F представляет собой свободную энергию, допускающую преобразование в работу. Оставшаяся часть внутренней энергии может быть названа связанной.

В некоторых приложениях приходится различать полную и полезную работу. Последняя представляет собой работу системы над внешними телами, исключая среду, в которую она погружена. Максимальная полезная работа системы равна

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): A^u_{max}=-\Delta G

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): G  — энергия Гиббса.

В этом смысле энергия Гиббса также является свободной.

Каноническое уравнение состояния

Задание термодинамического потенциала некоторой системы в определённой форме эквивалентно заданию уравнения состояния этой системы.

Соответствующие дифференциалы термодинамических потенциалов:

  • для внутренней энергии
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): dU= \delta Q - \delta A=T dS - P dV ,
  • для энтальпии
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): dH = dU + d(PV) = T dS - P dV + P dV + V dP = T dS + V dP ,
  • для свободной энергии Гельмгольца
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): dF = dU - d(TS) = T dS - P dV - T dS - S dT = -P dV - S dT ,
  • для потенциала Гиббса
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): dG = dH - d(TS) = T dS + V dP - T dS - S dT = V dP - S dT .

Эти выражения математически можно рассматривать как полные дифференциалы функций двух соответствующих независимых переменных. Поэтому естественно рассматривать термодинамические потенциалы как функции:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): U = U(S,V) ,
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): H = H(S,P) ,
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): F = F(T,V) ,
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): G = G(T,P) .

Задание любой из этих четырёх зависимостей — то есть конкретизация вида функций Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): U(S,V) , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): H(S,P) , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): F(T,V) , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): G(T,P)  — позволяет получить всю информацию о свойствах системы. Так, например, если нам задана внутренняя энергия Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): U как функция энтропии Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): S и объёма Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): V , оставшиеся параметры могут быть получены дифференцированием:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): T={\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)}_V
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): P=-{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_S

Здесь индексы Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): V и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): S означают постоянство второй переменной, от которой зависит функция. Эти равенства становятся очевидными, если учесть, что Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): dU = T dS - P dV .

Задание одного из термодинамических потенциалов как функции соответствующих переменных, как записано выше, представляет собой каноническое уравнение состояния системы. Как и другие уравнения состояния, оно справедливо лишь для состояний термодинамического равновесия. В неравновесных состояниях эти зависимости могут не выполняться.

Переход от одних термодинамических потенциалов к другим. Формулы Гиббса — Гельмгольца

Значения всех термодинамических потенциалов в определённых переменных могут быть выражены через потенциал, дифференциал которого является полным в этих переменных. К примеру, для простых систем в переменных Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): V , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): T термодинамические потенциалы можно выразить через свободную энергию Гельмгольца:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): U = - T^2 \left( \frac{\partial}{\partial T }\frac{F}{T} \right)_{V} ,

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): H = - T^2 \left( \frac{\partial}{\partial T }\frac{F}{T} \right)_{V} - V \left( \frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T} ,

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): G= F- V \left( \frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T} .

Первая из этих формул называется формулой Гиббса — Гельмгольца, но иногда этот термин применяют ко всем подобным формулам, в которых температура является единственной независимой переменной[8].

Метод термодинамических потенциалов. Соотношения Максвелла

Метод термодинамических потенциалов помогает преобразовывать выражения, в которые входят основные термодинамические переменные и тем самым выражать такие «труднонаблюдаемые» величины, как количество теплоты, энтропию, внутреннюю энергию через измеряемые величины — температуру, давление и объём и их производные.

Рассмотрим опять выражение для полного дифференциала внутренней энергии:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): dU = T dS - P dV .

Известно, что если смешанные производные существуют и непрерывны, то они не зависят от порядка дифференцирования, то есть

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \frac{\partial^2 U}{\partial V \partial S}=\frac{\partial^2 U}{\partial S \partial V} .

Но Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): {\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_S=-P и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): {\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)}_V=T , поэтому

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): {\left(\frac{\partial P}{\partial S}\right)}_V=-{\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)}_S .

Рассматривая выражения для других дифференциалов, получаем:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): {\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)}_S={\left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)}_P ,
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): {\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)}_T={\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_V ,
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): {\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)}_T=-{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_P .

Эти соотношения называются соотношениями Максвелла. Заметим, что они не выполняются в случае разрывности смешанных производных, что имеет место при фазовых переходах 1-го и 2-го рода.

Системы с переменным числом частиц. Большой термодинамический потенциал

Химический потенциал (Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \mu ) компонента определяется как энергия, которую необходимо затратить для того, чтобы добавить в систему бесконечно малое молярное количество этого компонента. Тогда выражения для дифференциалов термодинамических потенциалов могут быть записаны так:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): dU = T dS - P dV + \mu dN ,
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): dH = T dS + V dP + \mu dN ,
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): dF = -S dT - P dV + \mu dN ,
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): dG = -S dT + V dP + \mu dN .

Поскольку термодинамические потенциалы должны быть аддитивными функциями числа частиц в системе, канонические уравнения состояния принимают такой вид (с учётом того, что Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): S и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): V  — аддитивные величины, а Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): T и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): P  — нет):

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): U = U(S,V,N) = N f \left(\frac{S}{N},\frac{V}{N}\right) ,
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): H = H(S,P,N) = N f \left(\frac{S}{N},P\right) ,
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): F = F(T,V,N) = N f \left(T,\frac{V}{N}\right) ,
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): G = G(T,P,N) = N f \left(T,P\right) .

И, поскольку Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \frac{d G}{dN}=\mu , из последнего выражения следует, что

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): G = \mu N ,

то есть химический потенциал — это удельный потенциал Гиббса (на одну частицу).

Для большого канонического ансамбля (то есть для статистического ансамбля состояний системы с переменным числом частиц и равновесным химическим потенциалом) может быть определён большой термодинамический потенциал, связывающий свободную энергию с химическим потенциалом:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \Omega = F - \mu N = - P V ;
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): d \Omega = -S dT - N d \mu - P dV

Нетрудно проверить, что так называемая связанная энергия Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): T S является термодинамическим потенциалом для системы, заданной с постоянными Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): S P \mu .

Потенциалы и термодинамическое равновесие

В состоянии равновесия зависимость термодинамических потенциалов от соответствующих переменных определяется каноническим уравнением состояния этой системы. Однако в состояниях, отличных от равновесного, эти соотношения теряют силу. Тем не менее, для неравновесных состояний термодинамические потенциалы также существуют.

Таким образом, при фиксированных значениях своих переменных потенциал может принимать различные значения, одно из которых соответствует состоянию термодинамического равновесия.

Можно показать, что в состоянии термодинамического равновесия соответствующее значение потенциала минимально. Поэтому равновесие является устойчивым.

Нижеприведённая таблица показывает, минимуму какого потенциала соответствует состояние устойчивого равновесия системы с заданными фиксированными параметрами.

фиксированные параметры термодинамический потенциал
S,V,N внутренняя энергия
S,P,N энтальпия
T,V,N свободная энергия Гельмгольца
T,P,N потенциал Гиббса
T,V,Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \mu Большой термодинамический потенциал
S,P,Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \mu связанная энергия

Напишите отзыв о статье "Термодинамические потенциалы"

Примечания

Литература

  • Duhem P. [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62445r/f4.image.langEN Le potentiel thermodynamique et ses applications à la mécanique chimique et à l'étude des phénomènes électriques]. — Paris: A. Hermann, 1886. — XI + 247 с.
  • Gibbs J. Willard. The Collected Works. — N. Y. — London — Toronto: Longmans, Green and Co., 1928. — Т. 1. — XXVIII + 434 с.
  • Базаров И. П. [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Bazarov1979ru.djvu Термодинамика.] — М.: Высшая школа, 1991. 376 с.
  • Базаров И. П. Заблуждения и ошибки в термодинамике. Изд. 2-е испр. — М.: Едиториал УРСС, 2003. 120 с.
  • Гиббс Дж. В. Термодинамика. Статистическая механика. — М.: Наука, 1982. — 584 с. — (Классики науки).
  • Гухман А. А. Об основаниях термодинамики. — 2-е изд., испр. — М.: Изд-во ЛКИ, 2010. — 384 с. — ISBN 978-5-382-01105-9.
  • Зубарев Д.Н. Неравновесная статистическая термодинамика. М.: Наука, 1971. 416 с.
  • Квасников И. А. Термодинамика и статистическая физика. Теория равновесных систем, том. 1. — М.: Изд-во МГУ, 1991. (2-е изд., испр. и доп. М.: УРСС, 2002. 240 с.)
  • Кричевский И. Р. Понятия и основы термодинамики. — 2-е изд., пересмотр. и доп. — М.: Химия, 1970. — 440 с.
  • Кубо Р. Термодинамика. — М.: Мир, 1970. — 304 с.
  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Статистическая физика. Часть 1. — Издание 3-е, дополненное. — М.: Наука, 1976. — 584 с. — («Теоретическая физика», том V).
  • Майер Дж., Гепперт-Майер М. Статистическая механика. М.: Мир, 1980.
  • Мюнстер А. Химическая термодинамика. — М.: Мир, 1971. — 296 с.
  • Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1975. — Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. — 519 с.
  • Сычев В. В. Сложные термодинамические системы. — 4-е изд., перераб. и доп.. — М: Энергоатомиздат, 1986. — 208 с.
  • Термодинамика. Основные понятия. Терминология. Буквенные обозначения величин. Сборник определений, вып. 103/ Комитет научно-технической терминологии АН СССР. М.: Наука, 1984

Отрывок, характеризующий Термодинамические потенциалы

Конечно же, я не возражала!.. Наоборот, я была готова на всё, только бы отвлечь её от мыслей о нашем ближайшем будущем.
– Пожалуйста, расскажи нам, Север! Это поможет нам справиться и придаст нам сил. Расскажи, что знаешь, мой друг...
Север кивнул, и мы снова оказались в чьей-то чужой, незнакомой жизни... В чём-то давным-давно прожитом и покинутом прошлом.
Перед нами благоухал южными запахами тихий весенний вечер. Где-то вдалеке всё ещё полыхали последние блики угасающего заката, хотя уставшее за день солнце давно уже село, чтобы успеть отдохнуть до завтра, когда оно снова вернётся на своё каждодневное круговое путешествие. В быстро темнеющем, бархатном небе всё ярче разгорались непривычно огромные звёзды. Окружающий мир степенно готовил себя ко сну... Лишь иногда где-то вдруг слышался обиженный крик одинокой птицы, никак не находящей покоя. Или время от времени сонным лаем тревожил тишину переклик местных собак, этим показывавших своё неусыпное бдение. Но в остальном ночь казалась застывшей, ласковой и спокойной...
И только в огороженном высокой глиняной стеной саду всё ещё сидели двое. Это были Иисус Радомир и его жена Мария Магдалина...
Они провожали свою последнюю ночь... перед распятием.
Прильнувши к мужу, положив уставшую голову ему на грудь, Мария молчала. Она ещё столько хотела ему сказать!.. Сказать столько важного, пока ещё было время! Но не находила слов. Все слова уже были сказаны. И все они казались бессмысленными. Не стоящими этих последних драгоценных мгновений... Как бы она ни старалась уговорить Радомира покинуть чужую землю, он не согласился. И это было так нечеловечески больно!.. Мир оставался таким же спокойным и защищённым, но она знала – он не будет таким, когда уйдёт Радомир... Без него всё будет пустым и мёрзлым...
Она просила его подумать... Просила вернуться в свою далёкую Северную страну или хотя бы в Долину Магов, чтобы начать всё сначала.
Она знала – в Долине Магов их ждали чудесные люди. Все они были одарёнными. Там они могли построить новый и светлый мир, как уверял её Волхв Иоанн. Но Радомир не захотел... Он не согласился. Он желал принести себя в жертву, дабы прозрели слепые... Это было именно той задачей, что воздвиг на его сильные плечи Отец. Белый Волхв... И Радомир не желал отступать... Он хотел добиться понимания... у иудеев. Даже ценой своей собственной жизни.
Ни один из девяти друзей, верных рыцарей его Духовного Храма, не поддержал его. Ни один не желал отдавать его в руки палачей. Они не хотели его терять. Они слишком сильно его любили...
Но вот пришёл тот день, когда, подчиняясь железной воле Радомира, его друзья и его жена (против своей воли) поклялись не встревать в происходящее... Не пытаться его спасти, что бы ни происходило. Радомир горячо надеялся, что, видя явную возможность его гибели, люди наконец-то поймут, прозреют и захотят спасти его сами, несмотря на различия их веры, несмотря на нехватку понимания.
Но Магдалина знала – этого не случится. Она знала, этот вечер станет для них последним.
Сердце рвалось на части, слыша его ровное дыхание, чувствуя тепло его рук, видя его сосредоточенное лицо, не омрачённое ни малейшим сомнением. Он был уверен в своей правоте. И она ничего не могла поделать, как бы сильно его ни любила, как бы яростно ни пыталась его убедить, что те, за кого он шёл на верную смерть, были его недостойны.
– Обещай мне, светлая моя, если они всё же меня уничтожат, ты пойдёшь Домой, – вдруг очень настойчиво потребовал Радомир. – Там ты будешь в безопасности. Там ты сможешь учить. Рыцари Храма пойдут с тобой, они поклялись мне. Ты увезёшь с собою Весту, вы будете вместе. И я буду приходить к вам, ты знаешь это. Знаешь ведь?
И тут Магдалину, наконец, прорвало... Она не могла выдержать более... Да, она была сильнейшим Магом. Но в этот страшный момент она являлась всего лишь хрупкой, любящей женщиной, теряющей самого дорогого на свете человека...
Её верная, чистая душа не понимала, КАК могла Земля отдавать на растерзание самого одарённого своего сына?.. Был ли в этой жертве хоть какой-то смысл? Она думала – смысла не было. Привыкшая с малых лет к бесконечной (а иногда и безнадёжной!) борьбе, Магдалина не в состоянии была понять эту абсурдную, дикую жертву!.. Ни умом, ни сердцем не принимала она слепое повиновение судьбе, ни пустую надежду на чьё-то возможное «прозрение»! Эти люди (иудеи) жили в своём обособленном и наглухо закрытом для остальных мире. Их не волновала судьба «чужака». И Мария знала наверняка – они не помогут. Так же, как знала – Радомир погибнет бессмысленно и напрасно. И никто не сможет вернуть его обратно. Даже если захочет. Менять что-либо будет поздно...
– Как ты не можешь понять меня? – вдруг, подслушав её печальные мысли, заговорил Радомир. – Если я не попробую разбудить их, они уничтожат грядущее. Помнишь, Отец говорил нам? Я должен помочь им! Или хотя бы уж обязан попытаться.
– Скажи, ты ведь так и не понял их, правда ведь? – ласково гладя его руку, тихо прошептала Магдалина. – Так же, как и они не поняли тебя. Как же ты можешь помочь народу, если сам не понимаешь его?!. Они мыслят другими рунами... Да и рунами ли?.. Это другой народ, Радомир! Нам не знакомы их ум и сердце. Как бы ты ни пытался – они не услышат тебя! Им не нужна твоя Вера, так же, как не нужен и ты сам. Оглянись вокруг, Радость моя, – это чужой дом! Твоя земля зовёт тебя! Уходи, Радомир!
Но он не хотел мириться с поражением. Он желал доказать себе и другим, что сделал всё, что было в его земных силах. И как бы она ни старалась – Радомира ей было не спасти. И она, к сожалению, это знала...
Ночь уже подошла к середине... Старый сад, утонувший в мире запахов и сновидений, уютно молчал, наслаждаясь свежестью и прохладой. Окружающий Радомира и Магдалину мир сладко спал беззаботным сном, не предчувствуя ничего опасного и плохого. И только Магдалине почему-то казалось, что рядом с ней, прямо за её спиной, злорадно посмеиваясь, пребывал кто-то безжалостный и равнодушный... Пребывал Рок... Неумолимый и грозный, Рок мрачно смотрел на хрупкую, нежную, женщину, которую ему всё ещё почему-то никак не удавалось сломить... Никакими бедами, никакой болью.
А Магдалина, чтобы от всего этого защититься, изо всех сил цеплялась за свои старые, добрые воспоминания, будто знала, что только они в данный момент могли удержать её воспалённый мозг от полного и невозвратимого «затмения»... В её цепкой памяти всё ещё жили так дорогие ей годы, проведённые с Радомиром... Годы, казалось бы, прожитые так давно!.. Или может быть только вчера?.. Это уже не имело большого значения – ведь завтра его не станет. И вся их светлая жизнь тогда уже по-настоящему станет только воспоминанием.... КАК могла она с этим смириться?! КАК могла она смотреть, опустив руки, когда шёл на гибель единственный для неё на Земле человек?!!
– Я хочу показать тебе что-то, Мария, – тихо прошептал Радомир.
И засунув руку за пазуху, вынул оттуда... чудо!
Его тонкие длинные пальцы насквозь просвечивались ярким пульсирующим изумрудным светом!.. Свет лился всё сильнее, будто живой, заполняя тёмное ночное пространство...
Радомир раскрыл ладонь – на ней покоился изумительной красоты зелёный кристалл...
– Что это??? – как бы боясь спугнуть, также тихо прошептала Магдалина.
– Ключ Богов – спокойно ответил Радомир. – Смотри, я покажу тебе...
(О Ключе Богов я рассказываю с разрешения Странников, с которыми мне посчастливилось дважды встретится в июне и августе 2009 года, в Долине Магов. До этого о Ключе Богов не говорилось открыто нигде и никогда).
Кристалл был материальным. И в то же время истинно волшебным. Он был вырезан из очень красивого камня, похожего на удивительно прозрачный изумруд. Но Магдалина чувствовала – это было что-то намного сложнее, чем простой драгоценный камень, пусть даже самый чистый. Он был ромбовидным и удлинённым, величиной с ладонь Радомира. Каждый срез кристалла был полностью покрыт незнакомыми рунами, видимо, даже более древними, чем те, которые знала Магдалина...
– О чём он «говорит», радость моя?.. И почему мне не знакомы эти руны? Они чуточку другие, чем те, которым нас учили Волхвы. Да и откуда он у тебя?!
– Его принесли на Землю когда-то наши мудрые Предки, наши Боги, чтобы сотворить здесь Храм Вечного Знания, – задумчиво смотря на кристалл, начал Радомир. – Дабы помогал он обретать Свет и Истину достойным Детям Земли. Это ОН родил на земле касту Волхвов, Ведунов, Ведуний, Даринь и остальных просветлённых. И это из него они черпали свои ЗНАНИЯ и ПОНИМАНИЕ, и по нему когда-то создали Мэтэору. Позже, уходя навсегда, Боги оставили этот Храм людям, завещая хранить и беречь его, как берегли бы они саму Землю. А Ключ от Храма отдали Волхвам, дабы не попал он случайно к «тёмномыслящим» и не погибла бы Земля от их злой руки. Так с тех пор, и хранится это чудо веками у Волхвов, а они передают его время от времени достойному, чтобы не предал случайный «хранитель» наказ и веру, оставленную нашими Богами.

– Неужели это и есть Грааль, Север? – не удержавшись, просила я.
– Нет, Изидора. Грааль никогда не был тем, чем есть этот удивительный Умный Кристалл. Просто люди «приписали» своё желаемое Радомиру... как и всё остальное, «чужое». Радомир же, всю свою сознательную жизнь был Хранителем Ключа Богов. Но люди, естественно, этого знать не могли, и поэтому не успокаивались. Сперва они искали якобы «принадлежавшую» Радомиру Чашу. А иногда Граалем называли его детей или саму Магдалину. И всё это происходило лишь потому, что «истинно верующим» очень хотелось иметь какое-то доказательство правдивости того, во что они верят… Что-то материальное, что-то «святое», что возможно было бы потрогать... (что, к великому сожалению, происходит даже сейчас, через долгие сотни лет). Вот «тёмные» и придумали для них красивую в то время историю, чтобы зажечь ею чувствительные «верующие» сердца... К сожалению, людям всегда были нужны реликвии, Изидора, и если их не было, кто-то их просто придумывал. Радомир же никогда не имел подобной чаши, ибо не было у него и самой «тайной вечери»... на которой он якобы из неё пил. Чаша же «тайной вечери» была у пророка Джошуа, но не у Радомира.
И Иосиф Аримафейский вправду когда-то собрал туда несколько капель крови пророка. Но эта знаменитая «Граальская Чаша» по-настоящему была всего лишь самой простой глиняной чашечкой, из какой обычно пили в то время все евреи, и которую не так-то просто было после найти. Золотой же, или серебряной чаши, сплошь усыпанной драгоценными камнями (как любят изображать её священники) никогда в реальности не существовало ни во времена иудейского пророка Джошуа, ни уж тем более во времена Радомира.
Но это уже другая, хоть и интереснейшая история.

У тебя не так уж много времени, Изидора. И я думаю, ты захочешь узнать совершенно другое, что близко тебе по сердцу, и что, возможно, поможет тебе найти в себе побольше сил, чтобы выстоять. Ну, а этот, слишком тесно «тёмными» силами запутанный клубок двух чужих друг другу жизней (Радомира и Джошуа), в любом случае, так скоро не расплести. Как я уже сказал, у тебя просто не хватит на это времени, мой друг. Ты уж прости...
Я лишь кивнула ему в ответ, стараясь не показать, как сильно меня занимала вся эта настоящая правдивая История! И как же хотелось мне узнать, пусть даже умирая, всё невероятное количество лжи, обрушенной церковью на наши доверчивые земные головы... Но я оставляла Северу решать, что именно ему хотелось мне поведать. Это была его свободная воля – говорить или не говорить мне то или иное. Я и так была ему несказанно благодарна за его драгоценное время, и за его искреннее желание скрасить наши печальные оставшиеся дни.
Мы снова оказались в тёмном ночном саду, «подслушивая» последние часы Радомира и Магдалины...
– Где же находится этот Великий Храм, Радомир? – удивлённо спросила Магдалина.
– В дивной далёкой стране... На самой «вершине» мира... (имеется в виду Северный Полюс, бывшая страна Гиперборея – Даария), – тихо, будто уйдя в бесконечно далёкое прошлое, прошептал Радомир. – Там стоит святая гора рукотворная, которую не в силах разрушить ни природа, ни время, ни люди. Ибо гора эта – вечна... Это и есть Храм Вечного Знания. Храм наших старых Богов, Мария...
Когда-то, давным-давно, сверкал на вершине святой горы их Ключ – этот зелёный кристалл, дававший Земле защиту, открывавший души, и учивший достойных. Только вот ушли наши Боги. И с тех пор Земля погрузилась во мрак, который пока что не в силах разрушить сам человек. Слишком много в нём пока ещё зависти и злобы. Да и лени тоже...

– Люди должны прозреть, Мария. – Немного помолчав, произнёс Радомир. – И именно ТЫ поможешь им! – И будто не заметив её протестующего жеста, спокойно продолжил. – ТЫ научишь их ЗНАНИЮ и ПОНИМАНИЮ. И дашь им настоящую ВЕРУ. Ты станешь их Путеводной Звездой, что бы со мной ни случилось. Обещай мне!.. Мне некому больше доверить то, что должен был выполнить я сам. Обещай мне, светлая моя.