Центр масс

Поделись знанием:
(перенаправлено с «Центр тяжести»)
Перейти к: навигация, поиск

Центр масс, центр ине́рции, барице́нтр (от др.-греч. βαρύς — тяжёлый + κέντρον — центр) — (в механике) геометрическая точка, характеризующая движение тела или системы частиц как целого[1]. Не является тождественным понятию центра тяжести (хотя чаще всего совпадает).









Определение

Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом[2]:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \vec r_c= \frac{\sum \limits_i m_i \vec r_i}{\sum \limits_i m_i},

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \vec r_c  — радиус-вектор центра масс, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \vec r_i  — радиус-вектор i-й точки системы, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): m_i  — масса i-й точки.

Для случая непрерывного распределения масс:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \vec r_c = {1 \over M} \int \limits_V \rho(\vec r) \vec r dV,
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): M = \int \limits_V \rho(\vec r) dV,

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): M  — суммарная масса системы, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): V  — объём, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \rho  — плотность. Центр масс, таким образом, характеризует распределение массы по телу или системе частиц.

Можно показать, что если система состоит не из материальных точек, а из протяжённых тел с массами Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): M_i , то радиус-вектор центра масс такой системы Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): R_c связан с радиус-векторами центров масс тел Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): R_{ci} соотношением[3]:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \vec R_c= \frac{\sum \limits_i M_i\vec R_{ci}}{\sum \limits_i M_i}.

Иначе говоря, в случае протяжённых тел справедлива формула, по своей структуре совпадающая с той, что используется для материальных точек.

Центры масс плоских однородных фигур

Координаты центра масс однородной плоской фигуры можно вычислить по формулам (следствие из теорем Паппа — Гульдина):

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): x_s = \frac{V_y}{2\pi S} и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): y_s = \frac{V_x}{2\pi S} , где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): V_x, V_y — объём тела, полученного вращением фигуры вокруг соответствующей оси, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): S — площадь фигуры.

Центры масс периметров однородных фигур

В механике

Понятие центра масс широко используется в физике, в частности, в механике.

Движение твёрдого тела можно рассматривать как суперпозицию движения центра масс и вращательного движения тела вокруг его центра масс. Центр масс при этом движется так же, как двигалось бы тело с такой же массой, но бесконечно малыми размерами (материальная точка). Последнее означает, в частности, что для описания этого движения применимы все законы Ньютона. Во многих случаях можно вообще не учитывать размеры и форму тела и рассматривать только движение его центра масс.

Часто бывает удобно рассматривать движение замкнутой системы в системе отсчёта, связанной с центром масс. Такая система отсчёта называется системой центра масс (Ц-система), или системой центра инерции. В ней полный импульс замкнутой системы всегда остаётся равным нулю, что позволяет упростить уравнения её движения.

Центр масс в релятивистской механике

В случае высоких скоростей (порядка скорости света) (например, в физике элементарных частиц) для описания динамики системы применяется аппарат СТО. В релятивистской механике (СТО) понятия центра масс и системы центра масс также являются важнейшими понятиями, однако, определение понятия меняется:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \vec r_c= \frac{\sum \limits_i \vec r_i E_i}{\sum \limits_i E_i},

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \vec r_c  — радиус-вектор центра масс, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \vec r_i  — радиус-вектор i-й частицы системы, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): E_i  — полная энергия i-й частицы.

Данное определение относится только к системам невзаимодействующих частиц. В случае взаимодействующих частиц в определении должны в явном виде учитываться импульс и энергия поля, создаваемого частицами[4].

Во избежание ошибок следует понимать, что в СТО центр масс характеризуется не распределением массы, а распределением энергии. В курсе теоретической физики Ландау и Лифшица предпочтение отдается термину «центр инерции». В западной литературе по элементарным частицам применяется термин «центр масс» (англ. center-of-mass): оба термина эквивалентны.

Скорость центра масс в релятивистской механике можно найти по формуле:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \vec v_c= \frac{c^2}{\sum \limits_i E_i} \cdot \sum \limits_i \vec p_i.

Центр тяжести

Файл:Центр тяжести.webm
Центр тяжести

Центр масс тела не следует путать с центром тяжести.

Центром тяжести механической системы называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести (действующих на систему) равен нулю. Например, в системе, состоящей из двух одинаковых масс, соединённых несгибаемым стержнем, и помещённой в неоднородное гравитационное поле (например, планеты), центр масс будет находиться в середине стержня, в то время как центр тяжести системы будет смещён к тому концу стержня, который находится ближе к планете (ибо вес массы P = m·g зависит от параметра гравитационного поля g), и, вообще говоря, даже расположен вне стержня.

В однородном гравитационном поле центр тяжести всегда совпадает с центром масс. В некосмических задачах гравитационное поле обычно может считаться постоянным в пределах объёма тела, поэтому на практике эти два центра почти совпадают.

По этой же причине понятия центр масс и центр тяжести совпадают при использовании этих терминов в геометрии, статике и тому подобных областях, где применение его по сравнению с физикой можно назвать метафорическим и где неявно предполагается ситуация их эквивалентности (поскольку реального гравитационного поля нет, то и учёт его неоднородности не имеет смысла). В этих применениях традиционно оба термина синонимичны, и нередко второй предпочитается просто в силу того, что он более старый.

См. также

Напишите отзыв о статье "Центр масс"

Примечания

  1. Тарг С. М.  [http://www.femto.com.ua/articles/part_2/4506.html Центр инерции (центр масс)] // Физическая энциклопедия / Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов, Б. К. Вайнштейн, С. В. Вонсовский, А. В. Гапонов-Грехов, С. С. Герштейн, И. И. Гуревич, А. А. Гусев, М. А. Ельяшевич, М. Е. Жаботинский, Д. Н. Зубарев, Б. Б. Кадомцев, И. С. Шапиро, Д. В. Ширков; под общ. ред. А. М. Прохорова. — М.: Советская энциклопедия, 1999. — Т. 5. — С. 624—625. — 692 с.
  2. Журавлёв, 2001, с. 66.
  3. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М.  Выпуск 2. Пространство. Время. Движение // Фейнмановские лекции по физике. — М.: Мир, 1965. — 164 с. — С. 68.
  4. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.

Литература

Отрывок, характеризующий Центр масс

В его глазах появилась смертельная тоска, будто я нечаянно затронула нечто глубоко печальное и невыносимо больное.
– О, мы боролись, Изидора!.. Ещё как боролись! Давно это было... Я, как и ты сейчас, был слишком наивным и думал, что стоит людям лишь показать, где правда, а где ложь, и они тут же кинутся в атаку за «правое дело». Это всего лишь «мечты о будущем», Изидора... Человек, видишь ли, существо легко уязвимое... Слишком легко поддающееся на лесть и жадность. Да и другие разные «человеческие пороки»... Люди в первую очередь думают о своих потребностях и выгодах, и только потом – об «остальных» живущих. Те, кто посильнее – жаждут Власти. Ну, а слабые ищут сильных защитников, совершенно не интересуясь их «чистоплотностью». И это продолжается столетиями. Вот почему в любой войне первыми гибнут самые светлые и самые лучшие. А остальные «оставшиеся» присоединяются к «победителю»... Так и идёт по кругу. Земля не готова мыслить, Изидора. Знаю, ты не согласна, ибо ты сама слишком чиста и светла. Но одному человеку не по силам свергнуть общее ЗЛО, даже такому сильному, как ты. Земное Зло слишком большое и вольное. Мы пытались когда-то... и потеряли лучших. Именно поэтому, мы будем ждать, когда придёт правильное время. Нас слишком мало, Изидора.
– Но почему тогда Вы не пытаетесь воевать по-другому? В войну, которая не требует Ваших жизней? У Вас ведь есть такое оружие! И почему разрешаете осквернять таких, как Иисус? Почему не расскажете людям правду?..
– Потому, что никто не будет этого слушать, Изидора... Люди предпочитают красивую и спокойную ложь, будоражащей душу правде... И пока ещё не желают думать. Смотри, ведь даже истории о «жизни богов» и мессий, сотворённые «тёмными», слишком одна на другую похожи, вплоть до подробностей, начиная с их рождения и до самой смерти. Это чтобы человека не беспокоило «новое», чтобы его всегда окружало «привычное и знакомое». Когда-то, когда я был таким, как ты – убеждённым, истинным Воином – эти «истории» поражали меня открытой ложью и скупостью разнообразия мысли их «создающих». Я считал это великой ошибкой «тёмных»... Но теперь, давно уже понял, что именно такими они создавались умышленно. И это по-настоящему было гениальным... Думающие Тёмные слишком хорошо знают природу «ведомого» человека, и поэтому совершенно уверены в том, что Человек всегда с готовностью пойдёт за тем, кто похож на уже и з в е с т н о е ему, но будет сильно сопротивляться и тяжело примет того, кто окажется для него н о в ы м, и заставит мыслить. Поэтому-то наверное люди всё ещё слепо идут за «похожими» Богами, Изидора, не сомневаясь и не думая, не утруждая задать себе хотя бы один вопрос...
Я опустила голову – он был совершенно прав. У людей был всё ещё слишком сильным «инстинкт толпы», который легко управлял их податливыми душами...
– А ведь у каждого из тех, которых люди называли Богами, были очень яркие и очень разные, их собственные уникальные Жизни, которые чудесно украсили бы Истинную Летопись Человечества, если бы люди знали о них, – печально продолжал Север. – Скажи мне, Изидора, читал ли кто-нибудь на Земле записи самого Христа?.. А ведь он был прекрасным Учителем, который к тому же ещё и чудесно писал! И оставил намного больше, чем могли бы даже представить «Думающие Тёмные», создавшие его липовую историю...
Глаза Севера стали очень тёмными и глубокими, будто на мгновение вобрали в себя всю земную горечь и боль... И было видно, что говорить об этом ему совершенно не хочется, но с минуту помолчав, он всё же продолжил.
– Он жил здесь с тринадцати лет... И уже тогда писал весть своей жизни, зная, как сильно её изолгут. Он уже тогда знал своё будущее. И уже тогда страдал. Мы многому научили его... – вдруг вспомнив что-то приятное, Север совершенно по-детски улыбнулся... – В нём всегда горела слепяще-яркая Сила Жизни, как солнце... И чудесный внутренний Свет. Он поражал нас своим безграничным желанием ВЕДАТЬ! Знать ВСЁ, что знали мы... Я никогда не зрел такой сумасшедшей жажды!.. Кроме, может быть, ещё у одной, такой же одержимой...
Его улыбка стала удивительно тёплой и светлой.
– В то время у нас жила здесь девочка – Магдалина... Чистая и нежная, как утренний свет. И сказочно одарённая! Она была самой сильной из всех, кого я знал на Земле в то время, кроме наших лучших Волхвов и Христа. Ещё находясь у нас, она стала Ведуньей Иисуса... и его единственной Великой Любовью, а после – его женой и другом, делившим с ним каждое мгновение его жизни, пока он жил на этой Земле... Ну, а он, учась и взрослея с нами, стал очень сильным Ведуном и настоящим Воином! Вот тогда и пришло его время с нами прощаться... Пришло время исполнить Долг, ради которого Отцы призвали его на Землю. И он покинул нас. А с ним вместе ушла Магдалина... Наш монастырь стал пустым и холодным без этих удивительных, теперь уже ставших совершенно взрослыми, детей. Нам очень не хватало их счастливых улыбок, их тёплого смеха... Их радости при виде друг друга, их неуёмной жажды знания, железной Силы их Духа, и Света их чистых Душ... Эти дети были, как солнца, без которых меркла наша холодная размеренная жизнь. Мэтэора грустила и пустовала без них... Мы знали, что они уже никогда не вернутся, и что теперь уже никто из нас более никогда не увидит их... Иисус стал непоколебимым воином. Он боролся со злом яростнее, чем ты, Изидора. Но у него не хватило сил. – Север поник... – Он звал на помощь своего Отца, он часами мысленно беседовал с ним. Но Отец был глух к его просьбам. Он не мог, не имел права предать то, чему служил. И ему пришлось за это предать своего сына, которого он искренне и беззаветно любил – в глазах Севера, к моему великому удивлению, блестели слёзы... – Получив отказ своего Отца, Иисус, также как и ты, Изидора, попросил помощи у всех нас... Но мы тоже отказали ему... Мы не имели права. Мы предлагали ему уйти. Но он остался, хотя прекрасно знал, что его ждёт. Он боролся до последнего мгновения... Боролся за Добро, за Землю, и даже за казнивших его людей. Он боролся за Свет. За что люди, «в благодарность», после смерти оклеветали его, сделав ложным и беспомощным Богом... Хотя именно беспомощным Иисус никогда и не был... Он был воином до мозга костей, ещё тогда, когда совсем ребёнком пришёл к нам. Он призывал к борьбе, он крушил «чёрное», где бы оно ни попадалось, на его тернистом пути.

Иисус Радомир прогоняет
торговцев из храма

Север замолк, и я подумала, что рассказ закончен. В его печальных серых глазах плескалась такая глубокая, обнажённая тоска, что я наконец-то поняла, как непросто должно было жить, отказывая в помощи любимым, светлым и прекрасным людям, провожая их, идущих на верную гибель, и зная, как легко было их спасти, всего лишь протянув руку... И как же неправильна по-моему была их неписанная «правда» о не вмешательстве в Земные дела, пока (наконец-то, когда-то!..) не придёт «правильное» время... которое могло так никогда и не придти...
– Человек – всё ещё существо слабовольное, Изидора... – вдруг снова тихо заговорил Север. – И корысти, и зависти в нём, к сожалению, больше, чем он может осилить. Люди пока ещё не желают следовать за Чистым и Светлым – это ранит их «гордость» и сильно злит, так как слишком уж отличается, от «привычного» им человека. И Думающие Тёмные, прекрасно зная и пользуясь этим, всегда легко направляли людей сперва свергать и уничтожать «новых» Богов, утоляя «жажду» крушения прекрасного и светлого. А потом уже, достаточно посрамлённых, возвращали тех же новых «богов» толпе, как Великих Мучеников, уничтоженных «по ошибке»... Христос же, даже распятым, оставался для людей слишком далёким... И слишком чистым… Поэтому уже после смерти люди с такой жестокостью пятнали его, не жалея и не смущаясь, делая подобным себе. Так из ярого Воина остался в людской памяти лишь трусливый Бог, призывавший подставлять левую щёку, если ударят по правой.... А из его великой Любви – осталось лишь жалкое посмешище, закиданное камнями... чудесная чистая девочка, превратившаяся в «прощённую» Христом, поднявшуюся из грязи, «падшую» женщину... Люди всё ещё глупы и злы Изидора... Не отдавай себя за них! Ведь даже распяв Христа, все эти годы они не могут успокоиться, уничтожая Имя Его. Не отдавай себя за них Изидора!